در تابع پارامتری زیر، \( \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \) را بیابید.
\( \{ \begin{array} {cc} x = t^{2}+1 \\ y = t^{3}-1 \end{array} \)
حل: برای حل آن چهار مرحله را باید طی کرد. مرحله اول باید از x نسبت به t و از y نسبت به t مشتق بگیریم.
\[ \{ \begin{array} {cc} \dfrac{dx}{dt} = 2t \\ \\ \dfrac{dy}{dt} = 3t^{2} \end{array} \]
سپس در مرحله دوم باید این دو رابطه را در رابطه اصلی جایگذاری کرد
\[ y^{‘} =\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx }{dt}}=\dfrac{3t^{2}}{2t}=\dfrac{3t}{2} \]
حال که ’y پیدا شد، آنرا با x در یک دستگاه می نویسیم
\[ \{ \begin{array} {cc} x = t^{2}+1 \\ y^{‘} = \dfrac{3t}{2} \end{array} \]
اکنون مشتق هر کدام از اینها را بر حسب t محاسبه می کنیم.
\[ \{ \begin{array} {cc} \dfrac{dx}{dt} = 2t \\ \dfrac{dy^{‘}}{dt} = \dfrac{3}{2} \end{array} \]
حال کسر \( \dfrac{dy^{‘}}{dx} \)را محاسبه می کنیم و جواب نهایی بدست می آید.
\[ \dfrac{dy^{‘}}{dx} =\dfrac{\dfrac{dy^{‘}}{dt}}{\dfrac{dx }{dt}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{2t}{1}}=\dfrac{3}{4t} \]
____________________________________
پاورقی: توجه داشته باشید که این رابطه \( \dfrac{d}{dx}(\dfrac{dy}{dx})=\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \) همیشه برقرار است.
