در تابع پارامتری زیر، \( \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \) را بیابید.
\[ \Bigg\lbrace \begin{array} {cc} x = t +\dfrac{1}{t} \\ y= t -\dfrac{1}{t} \end{array} \]
حل: برای حل این سوال باید پنج مرحله طی کنیم، مرحله اول از x و y، نسبت به t مشتق می گیریم.
\[ \Bigg\lbrace \begin{array} {cc} \dfrac{dx}{dt} = 1 -\dfrac{1}{t^{2}} \\ \dfrac{dy}{dt}= 1 +\dfrac{1}{t^{2}} \end{array} \]
مرحله دوم باید این دو رابطه را در رابطه\( y^{‘}=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \)جایگذاری کرد؛
\[ y^{‘}=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\dfrac{1 +\dfrac{1}{t^{2}} }{1 -\dfrac{1}{t^{2}}}=\dfrac{\frac{t^{2}+1}{t^{2}}}{\frac{t^{2}-1}{t^{2}}}=\dfrac{t^{2}+1}{t^{2}-1} \]
اکنون (مرحله سوم) که \( y^{‘} \) پیدا شد، آنرا با x در یک دستگاه می نویسیم؛
\[ \Bigg\lbrace \begin{array} {cc} x = t +\dfrac{1}{t} \\ y^{‘}=\dfrac{t^{2}+1}{t^{2}-1} \end{array} \]
در مرحله چهارم، باید از دستگاه فوق نسبت به t مشتق گرفت؛
\[ \Bigg\lbrace \begin{array} {cc} \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{t^{2}-1}{t^{2}} \\ \dfrac{dy^{‘}}{dt}= \dfrac{2t(t^{2}-1)-2t(t^{2}+1)}{(t^{2}-1)^{2}}=\dfrac{-4t}{(t^{2}-1)^{2}} \end{array} \]
در مرحله پنجم و نهایی باید موارد بالا را در فرمول … جایگذاری کرد و جواب نهایی بدین ترتیب بدست می آید.
\[ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\dfrac{\frac{-4t}{(t^{2}-1)^{2}}}{\frac{t^{2}-1}{t^{2}}}=\dfrac{-4t^{3}}{(t^{2}-1)^{3}} \]
